Tishanskiysdk.ru

Про кризис и деньги
2 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Применение функционального анализа

Функциональный анализ

Функциональный анализ — раздел высшей математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций [1] ) и их отображения.

Основные разделы классического функционального анализа — это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (см. квантовая механика, теория струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа.

Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединённых вместе линейной алгебры и математического анализа.

Содержание

Некоторые понятия функционального анализа

Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:

Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Числовые функции на пространствах функций называют функционалами. Возможно, с этим обстоятельством связано возникновение термина «функциональный анализ». Так, в классической механике для нахождения траектории движения частицы требуется исследовать на минимум функционал действия, для чего его приходится дифференцировать; а поскольку под термином «анализ» в математике понимается интегральное и дифференциальное исчисление, то естественно предположить, что нахождение экстремали функционала действия — одна из первейших задач, давших функциональному анализу его имя. [источник не указан 569 дней]

Ключевые результаты

  • Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
  • Принцип oткрытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике.
  • Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
  • Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.
  • Теорема Гельфанда — Наймарка
  • Теорема Рисса — Фреше

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

  • Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
  • Геометрия Банаховых пространств.
  • Некоммутативная геометрия. Разработанная Аленом Конном, частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
  • Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.
  • Квантовый функциональный анализ Исследование пространств операторов, вместо пространств функций.
  • Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей, и др. в рамках функционального анализа.

Примечания

  1. На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.
  2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5-6.

См. также

Литература

  • Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
  • Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
  • Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
  • Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
  • Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М .: Наука, 1976. — 544 с.
  • Люстерник Л. А., В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
  • Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. — 232с.
  • О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей. // Историко-математические исследования. — М .: Наука, 1973. — № 18. — С. 13-103.
  • Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
  • Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М .: Наука, 1980. — 496 с.
  • Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г.. — 2-е, переработанное и дополненное. — М .: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
  • Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
  • Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
Читать еще:  Характеристика системы экономического анализа

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Функциональный анализ» в других словарях:

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Большой Энциклопедический словарь

функциональный анализ — сущ., кол во синонимов: 1 • функан (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

функциональный анализ — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN function analysis … Справочник технического переводчика

Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия

Функциональный анализ — разновидность анализа, характеризующегося как метод выявления функций рассматриваемого объекта и изучение их влияний на другие объекты. Функциональный анализ применим лишь к тем явлениям, которым приписываются функции, например, общественные… … Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — 1. Вообще – анализ сложной системы, при котором основное значение уделяется функциям различных аспектов системы и способу интеграционного оперирования. Такой анализ обычно преуменьшает значение фактической формы или структуры. Анализируемой… … Толковый словарь по психологии

функциональный анализ — один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Энциклопедический словарь

Функциональный анализ — – способ выяснения цели конкретного вида поведения, развивающийся в рамках МОДИФИКАЦИИ ПОВЕДЕНИЯ. Большинство видов так называемого аномального поведения в действительности отвечают каким то целям человека, но не всегда удается определить смысл… … Словарь-справочник по социальной работе

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Analizuojamosios medžiagos būdingų funkcinių grupių nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis vok. Funktionsanalysis, f rus. функциональный анализ, m pranc.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

функциональный анализ — funkcinė analizė statusas T sritis chemija apibrėžtis Organinės medžiagos funkcinių grupių radimas ir nustatymas. atitikmenys: angl. functional analysis; group analysis rus. функциональный анализ … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Модель функций. Функциональный анализ. Виды анализа

Функция – это одно из важнейших понятий современной ТРИЗ. Модель функции представляет собой триаду: субъект (носитель) функции, действие, объект функции. Действие может выражаться в виде глагола действия или параметра и направления его изменения. Например, пламя увеличивает температуру печки, пламя уменьшает вес воздушного шара, жидкость вблизи фазового перехода стабилизирует температуру объекта и т. д. Пример формулировки целевой функции: карандаш изменяет цвет (красит) бумаги; дешифратор восстанавливает исходное сообщение; отладочный интерфейс заносит необходимую информацию в log-файл.

Для проведения функционального анализа необходимо знать и понимать несколько терминов, которые мы перечислим ниже.

Носитель функции – субъект, реализующий рассматриваемую функцию.

Объект функции – объект, на который направлено действие рассматриваемой функции.

Полезная функция – функция, обусловливающая потребительские свойства объекта.

Вредная функция – функция, отрицательно влияющая на потребительские свойства объекта.

Нейтральная функция – функция, не влияющая на изменение потребительских свойств объекта.

Главная функция – полезная функция, отражающая назначение объекта (цель его создания).

Дополнительная функция – полезная функция, обеспечивающая совместно с главной функцией проявление потребительских свойств объекта.

Основная функция – функция, обеспечивающая выполнение главной.

Вспомогательная функция первого ранга – функция, обеспечивающая выполнение основной.

Вспомогательная функция второго ранга – функция, обеспечивающая выполнение вспомогательной функции первого ранга. Вспомогательные функции третьего и других более низких рангов – функции, подчиненные по отношению к функциям предыдущего ранга.

Ранг функции – значимость функции, определяющая ее место в иерархии функций, обеспечивающих выполнение главной функции.

Уровень выполнения функции – качество ее реализации, характеризующееся значением параметров носителя функции.

Требуемые параметры – параметры, соответствующие реальным условиям функционирования объекта.

Фактические параметры – параметры, присущие анализируемому объекту (существующему или проектируемому).

Адекватный уровень выполнения функции – соответствие фактических параметров требуемым.

Избыточный уровень выполнения функции – превышение фактических параметров над требуемыми.

Недостаточный уровень выполнения функции – превышение требуемых параметров над фактическими.

Компонентная модель – модель, отражающая состав объекта и иерархию (соподчиненность) его элементов.

Структурная модель – модель, отражающая взаимосвязи между элементами объекта. Создание компонентной и структурной моделей называется компонентно-структурным анализом.

Читать еще:  Анализ рабочего времени на предприятии

Функциональная модель – модель, отражающая комплекс функций объекта анализа и его элементов.

Функционально-идеальная модель – функциональная модель после применения свертывания, отражающая комплекс функций объекта, реализуемых минимальным числом элементов.

Нежелательный эффект – недостаток объекта, выявленный в процессе анализа.

В некоторых случаях, когда нет направленного действия, а имеется лишь взаимодействие объектов, субъект функции невозможно отличить от объекта функции. Например, при взаимодействии двух радиоактивных веществ может активизироваться ядерная реакция и происходит взрыв. Оба вещества действуют в этом случае друг на друга. В оптике при создании зеркал на шлифовальной машине на каком-то этапе можно изготавливать сразу два зеркала: выпуклое и вогнутое. Оба стекла обрабатывают друг друга.

Понятие функции в ТРИЗ самым тесным образом связано с понятием «параметр». Параметр имеет несколько важных характеристик:

– параметр существует не сам по себе, он всегда привязан к тому или иному объекту, характеризует состояние этого объекта;

– изменить значение параметра можно, только воздействуя на объект;

– время является параметром для процессов или операций;

– параметр можно измерить тем или иным способом, включая экспертные оценки;

– для одного и того же параметра существуют не менее двух объектов, характеризующихся этим параметром, параметр не может быть уникальным только для одной системы;

– параметр можно увеличивать, уменьшать, стабилизировать, управлять, сравнивать;

– параметры объекта могут быть взаимосвязанными между собой;

– взаимная связь (зависимость) между параметрами объекта определяется свойствами этого объекта;

– объект может характеризоваться разными параметрами в зависимости от аспекта его рассмотрения.

Параметры объекта могут быть связаны причинно-следственными цепочками и создавать иерархические параметрические структуры.

Можно выделить материальные и нематериальные аспекты рассмотрения системы.

– физический (микро и макро)

– искусство (материальная составляющая).

– социальный (индивидуальный, групповой, общественный, поведенческий)

– бизнес (бизнес-модель, методы и технологии ведения бизнеса)

– абстрактно-математический (множества, программы, формальная логика и пр.)

В зависимости от аспекта рассмотрения системы параметры могут быть:

– информационными (скорость передачи данных, надежность, защищенность и др.),

– техническими (производительность, надежность, точность измерения и др.),

– экономическими (прибыль, ликвидность, рентабельность и др.),

– физическими (температура, масса, давление, освещенность и др.),

– биохимическими (уровень глюкозы, уровень холестерина, титр антител и др.) и т. д.

Могут использоваться и узкоспециальные параметры. Например, для жестких магнитных дисков (винчестеров) используют специальные параметры: диаметр диска, число секторов на дорожке, скорость передачи данных, время перехода от одной дорожки к другой и т. д.

Одни параметры, например, информационные, могут формироваться как результат состояния других параметров, например, технических, физических, химических, биологических.

От качества формулировки моделей функций зависит эффективность всего функционального анализа. Имеется опасность сделать две принципиальные ошибки. Первая – сформулировать действия в форме глагола, который в действительности действие не описывает. Например, любить, работать, трудиться, исправлять – такие глаголы не помогут описать действие. Нужен конкретный параметр, который в результате этого действия изменяется. Вторая довольно типичная ошибка – неверная или неточная формулировка субъекта или объекта функции. Например, часто забывают, что объект главной функции находится за пределами рассматриваемой системы. Например, редакторы текстов направлены на взаимодействие с пользователем, который сам по себе не является частью этого редактора. При формулировках функций для нематериальных систем эти проблемы формулировки функций только обостряются. Например, в информационных технологиях объект функции и субъект функции очень часто меняются местами во времени. Так, при работе с базой данных пользователь является то поставщиком информации, то потребителем информации.

Пример функциональной модели программного продукта был приведен в разделе 2.3.2. Для построения функциональной модели необходимо вначале построить компонентную модель (из чего состоит система). Это полезно и с точки зрения поиска ресурсов для решения поставленной задачи. Затем строится структурная модель – какие элементы связаны друг с другом в системе, а какие нет. После этого для каждого компонента (элемента системы) формулируется функция или несколько функций и строится функциональная модель системы, на основе которой и проводится функциональный анализ.

Построенная функциональная модель системы позволяет, в частности, проводить причинно-следственный анализ, выделяя основные существующие в системе недостатки и выстраивая причинно-следственные цепочки для выяснения причин возникновения основных недостатков. Это позволяет сформулировать ключевые недостатки системы, решение которых, как по принципу падающих домино, приводит к устранению целой группы недостатков.

Один из вариантов функционального анализа – функционально-стоимостный анализ (ФСА). Упрощенно его можно описать следующим образом. Каждому элементу ставят в соответствие определенную функцию или набор функций, определяют их значимость для системы в целом. После этого для тех же компонентов (элементов) определяют совокупные затраты. Распределение функциональной значимости элементов сравнивают с распределением затрат на этот элемент. Те элементы, которые имеют высокие затраты, связаны с большим количеством нежелательных элементов и при этом имеют не значительный функциональный ранг – это первые кандидаты на свертывание в этой системе.

Для примера приведена упрощенная диаграмма сравнения функциональной значимости и уровня затрат для задачи 7. Из диаграммы видно, что для блока распознавания и блока проверки соотношение между функциональной значимостью и затратами наихудшее. Эти блоки и нужно свернуть (удалить) в первую очередь (рис. 2.17).

Проведение глубокого функционального анализа с постановкой задач на свертывание – это самостоятельный раздел ТРИЗ, требующий более глубокого изучения и дополнительных инструментов анализа ситуации и постановки задач.

Еще один аналитический инструмент – инструмент потокового анализа (анализ имеющихся в системе потоков энергии, вещества и информации). При помощи этого аналитического инструмента могут быть выявлены недостатки, сформулированы задачи или выявлены причины их возникновения.

Читать еще:  Анализ технического контроля на предприятии

Причинно-следственный анализ (ПСА) основан на построении причинно-следственных цепочек имеющихся в системе недостатков. Эта цепочка может быть построена в виде графической или иной модели, отражающей взаимозависимость недостатков системы.

Метод «Допустить недопустимое» – еще один метод анализа проблемной ситуации и поиска ее решения. Его суть состоит в том, чтобы предположить такое изменение в системе, которое ни при каких обстоятельствах в условиях задачи не допускаются. Допустив такое «недопустимое» изменение далее выстраивается причинно-следственная цепочка: какие изменения возникают в системе, могут ли они снять те запреты, из-за которых нам нельзя было делать это изменение?

Простейшие примеры использования метода «Допустить недопустимое» можно взять из опыта создания презентаций. Очевидное ограничение: ширину текстового блока на слайде нельзя увеличивать так, чтобы этот блок «залезал» на окружающую его картинку. Сделаем как нельзя и все же увеличим ширину этого текстового блока. Довольно часто при этом высота текстового блока автоматически уменьшается, и увеличение его ширины уже не приводит к «залезанию» на окружающую картинку.

Для анализа ситуаций и постановки задач в ТРИЗ часто используют диверсионный анализ. Главная идея диверсионного анализа состоит в том, чтобы вместо решения проблемы, ставится вопрос о том, как можно создать проблему. Выделяют два направления применения диверсионного анализа в ТРИЗ. Первое – как объяснить возникновение того или иного явления. Для этого ставится задача: как создать это явление, используя только имеющиеся ресурсы системы. Второе – ставится задача о том, как можно было бы испортить систему. Это можно делать последовательно обращая все полезные функции системы на противоположные. Например, в программе сортировки нужно сделать так, чтобы элементы массива перемещались не туда, куда нужно. Зная это, можно избежать ошибку при создании программы.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте закон стремления систем к идеальности. Приведите примеры развития систем в направлении повышения идеальности.

2. Что такое ИКР? Для чего он применяется?

3. Назовите три типа ИКР?

4. Приведите примеры формулировок ИКР для разных задач.

5. Опишите линию развития «МОНО – БИ – ПОЛИ». Какие особенности можно выделить в этой линии развития. Приведите примеры.

6. Что такое свертывание систем. Приведите примеры.

7. Перечислите основные правила свертывания.

8. В чем состоит методика объединения альтернативных систем и переноса свойств? Приведите примеры использования этой методики.

9. Опишите модель функции в ТРИЗ. Приведите примеры.

10. Как можно характеризовать параметры в моделях функций? Приведите примеры параметров в функциях систем.

11. Какие аспекты рассмотрения систем можно выделить?

12. Для чего необходим функциональный анализ? Что такое ФСА?

13. Приведите примеры терминов, которые применяются при проведении функционального анализа.

14. Опишите последовательность действий при проведении функционального анализа.

Дата добавления: 2016-03-15 ; просмотров: 3371 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Функциональный анализ и его особенности

Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.

Понятие

Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.

Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.

Особенности функционального анализа

В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную – нагрев продукта, полезную – его измельчение, а также негативную – сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.

Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.

Основные цели функционального анализа

Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:

  • Устранение лишних функций. Зачастую некоторые применяемые функции не соответствуют условиям нынешней экономической системы. По этой причине выполняется их обоснованное сокращение. Это можно делать с целью экономии средств, а также усовершенствования организационной структуры учреждения.
  • Добавление необходимых недостающих функций. Например, для перехода к рыночной экономике может быть недостаточно административных функций. Вместе с тем некоторые из тех, которые имеются, уже давно устарели. Если заменить нейтральные функции полезными, это позволит улучшить деятельность предприятия.
  • Рационализация в распределении. Дабы избежать снижения эффективности, следует обеспечить эффективное одновременное выполнение разных функций. Для этого необходимо выполнить их распределение рационально.

Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.

Функциональные подходы

Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.

Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.

Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector